Чебышевские приближения для матриц и тензоров и их применения

Приближения произвольных матриц с помощью матриц малого ранга и аналогичная задача для тензоров активно изучаются в последние десятилетия в связи с многочисленными приложениями. Ключевым компонентом решения является построение наилучшего равномерного приближения вектора (Чебышевского приближения) по системе векторов. Фактически, это – дискретный аналог общей задачи равномерного приближения функции на отрезке. Мы приведем критерий наилучшего приближения и эффективный алгоритм решения. С их помощью будет построен метод переменных направлений для нахождения малоранговых приближений матриц и тензоров. В этом случае будет введено понятие многомерного альтернанса и показано, что наличие такой структуры альтернанса является необходимым условием оптимального решения задачи, а также что все решения, получаемые методом переменных направлений, обладают этой структурой. Кроме того, используя свойства многомерного альтернанса, будет построен метод, позволяющий оптимально приближать произвольные матрицы одноранговыми. Будут продемонстрированы численные результаты и иллюстрации.