Операторы на конусе положительных полиномов: новый взгляд на масштабирующие уравнения

Масштабирующие уравнения – разностные функциональные уравнения с целыми сдвигами и сжатиями аргумента в пространстве R^n. Они изучаются с середины 1980-х гг. в основном, из-за приложений к гармоническому анализу и многомерной аппроксимации, хотя есть и другие применения, например, в комбинаторике, теории чисел и вероятности. Для исследования гёльдеровой и соболевской гладкости решений разработаны методы, требующие, однако, вычисления особых спектральных характеристик матриц, что является нетривиальной задачей (NP- сложной для рациональных матриц). Относительно простым является метод "типа Литлвуда-Пэли", разработанный Добеши, Коэном, Ерве, Эйролой, Ханом, и т.д. для функций одной переменной. Его обобщение на функции многих переменных неочевидно. Попытки таких обобщений сталкиваются с многочисленными техническими сложностями. Мы покажем, как преодолеть эти сложности с помощью теории операторов с инвариантным конусом (в нашем случае – конусом положительных тригонометрических полиномов) и некоторых результатов теории Перрона-Фробениуса и Крейна-Рутмана. Будут представлены приложения к тайлам, многомерным B-сплайнам и к генерации гладких поверхностей.