Уравнение Маркова

А. А. Марков в 1879 году вывел новое диофантово уравнение: $x^2+y^2+z^2=3xyz$ и доказал, что все натуральные решения уравнения Маркова имеют естественную структуру графа-дерева. Им же было показано как с помощью натуральных решений этого уравнения выражаются действительные числа, которые хуже всего приближаются рациональными. В последние годы, под влиянием работ Бургейна, Гамбурда и Сарнака, уравнение Маркова стали изучать над полем вычетов по простому модулю $p$.
Граф решений строится и в случае уравнения для вычетов по простому модулю, но не является деревом. Наши новые результаты утверждают, что графы решений уравнений Маркова и Маркова-Гурвица: $x_1^2+...+x_n^2=ax_1...x_n$, рассматриваемых над полем вычетов, имеют “гигантскую” компоненту связности, включающую в себя почти все решения. Такие оценки позволили В.Чену в прошлом году доказать, что граф решений уравнения Маркова связен, ответив тем самым на вопрос Бургейна.
Я планирую рассказать об описанных выше результатах.