Максимальные коммутативные подалгебры Пуассона и 2-разложения полупростых алгебр Ли

В теории интегрируемых систем одной из фундаментальных задач является построение полного набора первых интегралов в инволюции для гамильтоновой динамической системы. На алгебраическом языке задача состоит в построении коммутативной подалгебры максимальной степени трансцендентности в данной алгебре Пуассона. Одним из методов построения коммутативных пуассоновых подалгебр в симметрической алгебре $S(\mathfrak g)$ полупростой алгебры Ли $\mathfrak g$ является схема Ленарда-Магри, основанная на включении скобки Пуассона-Ли на $S(\mathfrak g)$ в пучок согласованных скобок Пуассона. В эту схему, в частности, укладывается известный метод сдвига аргумента Мищенко-Фоменко. В случае, когда все скобки Пуассона в пучке линейны, т.е. происходят из пучка согласованных скобок Ли на $\mathfrak g$, схема Ленарда-Магри приводит к коммутативной пуассоновой подалгебре максимальной степени трансцендентности тогда и только тогда, когда все значения параметра в пучке регулярны, т.е. индексы алгебр Ли, отвечающих разным значениям параметра, совпадают.
В 2021 году Панюшев и Якимова предложили реализацию схемы Ленарда-Магри, основанную на 2-разложении алгебры Ли $\mathfrak g$, т.е. разложении $\mathfrak{g = f \oplus h}$ в прямую сумму двух подалгебр Ли. Возможные сингулярные значения параметра отвечают так называемым сжатиям Инёню-Вигнера алгебры Ли $\mathfrak g$ вдоль подалгебр $\mathfrak f$ и $\mathfrak h$, при которых скобка Ли на подалгебре сохраняется, а дополнительное подпространство превращается в абелев идеал. Мы получим формулу для индекса сжатия Инёню-Вигнера полупростой алгебры Ли $\mathfrak g$ вдоль подалгебры $\mathfrak h$ в терминах сложности однородного многообразия $G/H$ (для квазиаффинного $G/H$ это результат Панюшева-Якимовой). В качестве следствия мы покажем, что коммутативная подалгебра Пуассона, построенная по схеме Ленарда-Магри, имеет максимальную степень трансцендентности тогда и только тогда, когда подалгебры $\mathfrak f$ и $\mathfrak h$ являются сферическими.