Абелевы группы типа K3, действующие на рационально связных многообразиях

Доклад посвящен классификации конечных абелевых подгрупп в группах автоморфизмов рационально связных многообразий. Это классическая проблема, берущая свое начало в XIX веке. Интересная дихотомия возникает в размерности два: конечные абелевы подгруппы группы Кремоны ранга 2 можно разделить на два типа. К первому типу относятся группы, которые могут действовать на расслоении Мори с нетривиальной базой (то есть на расслоении на коники). Второй, "исключительный" тип соответствует эллиптическим кривым с комплексным умножением, анти-канонически вложенным в некоторые поверхности дель Пеццо. Мы обобщим это наблюдение на более высокие размерности. Ожидается, что «исключительные» абелевы группы должны возникать из некоторых специальных подмногообразий Калаби-Яу, вложенных в бирациональные модификации исходного рационально связного многообразия. В размерности 3 эту роль играют анти- канонически вложенные поверхности K3 с большим числом Пикара. Таких «исключительных» групп в трехмерной ситуации оказывается ровно четыре. Хотя все они могут действовать на рационально связных трехмерных многообразиях, их вложение в группу Кремоны ранга 3 остаётся открытой проблемой. Мы также рассмотрим проблему расширений для конечных абелевых групп в связи с геометрией 4-мерных расслоений Мори.