Универсальность и ренормализация

С одной стороны, даже простейшие нелинейные многочлены, такие, как $f(z)=z^2+c$, демонстрируют чрезвычайно тонкие и интересные явления при итерациях. Но, с другой стороны, обнаруженные в простейших нелинейных системах качественные и количественные характеристики повторяются во многих других, более сложных системах (универсальность). Примеры: универсальность Фейгенбаума, возникающая в каскадах удвоения периода; появление множества Мандельброта в плоскостях параметров общего вида аналитических систем, аналитически зависящих от параметра (в том числе, уменьшенные копии множества Мандельброта в самом множестве Мандельброта). Объяснение этим явлениям содержится в концепции ренормализации.