Группы Шевалле над кольцами: универсальная локализация

Начиная с работ Суслина и Квиллена, посвященных доказательству гипотезы Серра, метод локализации является одним из важнейших инструментов при работе с линейными группами над кольцами. В докладе представлена новая версия этого метода. Идея состоит в следующем. Используя локализацию в некотором универсальном кольце $U$, например в аффинной алгебре группы $G$, получаем результат в $G(U)$, после чего проектируем его в $G(R)$ для произвольного кольца $R$. Результаты, получающиеся на этом пути, не зависят от кольца $R$, например, с помощью этого метода доказывается следующая теорема.
Теорема. Пусть $G$ – односвязная групповая схема Шевалле-Демазюра, соответствующая системе корней $\Phi$ ранга большего 1, а $E$ – ее элементарная подгруппа. Существует константа $L=L(G)$ такая, что для любого кольца $R$ и любых элементов $a\in G(R)$ и $b\in E(R)$ коммутатор $[a,b]$ является произведением не более чем $L$ элементарных корневых унипотетнов.
При доказательстве используется только разложение Гаусса, “элементарные вычисления” и некоторые простые соображения о расщеплении. В процессе доказательства получаются основные коммутационные формулы. Этим же методом может быть получена нильпотентная фильтрация $K_1G(R)=G(R)/E(R)$. Еще одним преимуществом метода является то, что перечисленные результаты могут быть получены для обобщенных конгруэнц-подгрупп, т.е. подгрупп в $G$, определенных сравнениями.