Некоторые свойства производных Фокса

Пусть $F$ - свободное произведение нетривиальных групп $A_i$ ($i$ принадлежит $I$) и свободной группы $G$ с базой ${gj | j принадлежит J}$ (не исключается случай, когда множители $A_i$ или множитель $G$ отсутствуют), $N$— нормальная подгруппа в $F$, имеющая тривиальное пересечение с каждым множителем $A_i$ ($i$ принадлежит $I$), $D_k $ - производные Фокса кольца $Z(F)$. В статье дано описание элементов $v$ группы $F$, удовлетворяющих условиям $D_k(v) ≡ 0 mod N$ ($k$ принадлежит подмножеству из объединения $I$ и $J$). Используя полученное описание доказываются теоремы о свободе. Затем доказываются аналогичные результаты для алгебр Ли.