Спектральные и ассимптотические методы в некоторых задачах теории вероятностей

Доклад будет состоять из двух основных частей. В первой части я расскажу про ряд результатов о спектральных и асимптотических свойствах основных состояний в слабо-взаимодействующих квантовых решеточных спиновых системах.
- Экспоненциально убывающая по мере удаления от границы объема зависимость основного состояния от граничных условий общего вида. - Теория относительно ограниченных возмущений решеточных гамильтонианов и получаемое с ее помощью представление модели AKLT (изотропной квантовой цепочки со спином 1, для которой доказано существование (явная формула) и единственность основного состояния и наличия спектральной щели) в виде возмущения классической системы. Это неочевидное и неожиданное обстоятельство было предсказано ранее Холдейном для чисто антиферромагнитных цепочек Гейзенберга с целым спином, однако его гипотеза остается недоказанной. Теория относительно ограниченных возмущений позволяет доказать эти свойства для небольших возмущений модели AKLT. - Эффект перехода между "соизмеримой" и "несоизмеримой" подфазами в изотропной цепочке со спином 1. Численно было обнаружено, что корреляционные функции качественно меняют характер при пересечении параметром системы точки, соответствующей модели AKLT. Я расскажу об объяснении этого явления, основанном на траекторном представлении динамики в (1+1)-мерном пространстве.
Во второй части доклада я расскажу про метод математической оптимизации, основанный на понятии "ожидаемого улучшения" и его тесную связь с гауссовскими процессами и задачей интерполяции. - Оптимизация указанным методом не всегда достигает глобального оптимума. - Для одномерных аналитических функций имеется экспоненциально быстрая сходимость к глобальному оптимуму.