Аппроксимации Паде, ортогональные многочлены и $S$-кривые

Задача эффективного аналитического продолжения (суммирования) заданного степенного ряда за пределы круга его сходимости – классическая задача комплексного анализа. В докладе планируется рассказать о методах исследования этой задачи, основанных на использовании диагональных аппроксимаций Паде и их различных обобщений.
Основной класс рассматриваемых функций – многозначные аналитические функции с конечным числом особых точек в комплексной плоскости. В таком классе функций знаменатели обобщенных аппроксимаций Паде (АП) оказываются неэрмитово ортогональными многочленами с переменным (зависящим от номера многочлена) весом. Распределение нулей этих многочленов оказывается возможным охарактеризовать с помощью экстремальных теоретико-потенциальных задач, рассматриваемых в некотором классе компактов, «допустимых» для заданной многозначной функции. Экстремальный компакт единствен, состоит из конечного числа аналитических дуг (замыканий критических траекторий некоторого квадратичного дифференциала) и вполне характеризуется определенным свойством симметрии ($S$-свойством). Предельное распределение нулей знаменателей АП совпадает с равновесной мерой для этого $S$-компакта. Исходный степенной ряд продолжается в дополнение к экстремальному $S$-компакту как голоморфная (однозначная аналитическая) функция. Диагональные АП сходятся по (логарифмической) емкости с геометрической скоростью к этому голоморфному продолжению исходной функции. Опираясь на известное распределение полюсов АП оказывается возможным решать задачу о равномерном приближении исходной функции с помощью АП.