|
|
Заседания Московского математического общества
18 октября 2016 г., г. Москва, ГЗ МГУ, аудитория 16-10
|
|
|
|
|
|
Положительность для квантовых кластерных алгебр и исчезающие циклы
А. И. Ефимов |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 252 |
Фотогалерея
|
Аннотация:
Кластерные алгебры были введены Фоминым и Зелевинским в 2001 году.
Интуитивно про них можно думать как о многообразиях с бесконечным
числом аффинных карт, каждая из которых является аффинным пространством,
и функции перехода являются многочленами Лорана с целыми коэффициентами
(так называемый феномен Лорана). Один из основных вопросов этой теории
— гипотеза о положительности коэффициентов этих многочленов. Эта
гипотеза была доказана Ли и Шиффлером в 2014 году для так называемых
кососимметрических кластерных алгебр.
В докладе пойдет речь о квантовых кластерных алгебрах, введенным
Беренштейном и Зелевинским в 2004 году. Я расскажу о категорном подходе
к феномену Лорана и гипотезе положительности (в кососимметрическом
случае). Он основывается на теории категорных инвариантов Дональдсона–Томаса, развитой в работах Концевича и Сойбельмана. Будет объяснено (без
технических деталей), как целочисленные коэффициенты соответствующих
(квантовых) многочленов Лорана можно выразить через (монодромные)
смешанные структуры Ходжа на исчезающих когомологиях некоторых гладких
алгебраических многообразий с регулярной функцией. Эти многообразия —
пространства модулей стабильных представлений колчанов, а функция —
след линейной комбинации циклических путей. Гипотеза положительности
сводится к утверждению о чистоте этих смешанных структур Ходжа.
Гипотеза о чистоте была сформулирована докладчиком в 2011 году (она
возникла в результате обсуждений с Концевичем). В январе 2016 Б.Дэвисон
опубликовал препринт с доказательством этой гипотезы, тем самым доказав
положительность для квантового случая.
|
|