Метрики на поверхностях, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами

Настоящий доклад посвящен задаче геометрической оптимизации собственных значений оператора Лапласа. Для фиксированного замкнутого многообразия собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами можно рассматривать как функционалы на пространстве метрик единичного объема. В случае поверхностей, согласно работам Кореваара, Ли, Янга и Яу, они оказываются ограниченными. Возникает вопрос нахождения максимальных метрик и точной верхней границы для функционалов собственных значений. В последние годы этот вопрос получил особый интерес вследствие связи с теорией минимальных помногообразий в сферах. Используя эту связь, Пенской получил примеры экстремальных метрик на торе и бутылке Клейна. В данном докладе мы приведем новые примеры экстремальных метрик, полученные докладчиком, а также обсудим их максимальность.