Метрики на поверхностях, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа–Бельтрами

Настоящий доклад посвящён задаче геометрической оптимизации собственных значений оператора Лапласа. Для фиксированного замкнутого многообразия собственные значения оператора Лапласа–Бельтрами можно рассматривать как функционалы на пространстве метрик единичного объёма. В случае поверхностей, согласно работам Кореваара, Ли, Янга и Яу, они оказываются ограниченными. Возникает вопрос нахождения максимальных метрик и точной верхней границы для функционалов собственных значений. В последние годы этот вопрос получил особый интерес ввиду связи с теорией минимальных помногообразий в сферах. Используя эту связь, Пенской получил примеры экстремальных метрик на торе и бутылке Клейна. В данном докладе мы приведем новые примеры экстремальных метрик, полученные докладчиком, а также обсудим их максимальность.