Торические модели Ландау–Гинзбурга

Зеркальная симметрия ставит в соответствие многообразию Фано одномерное семейство — так называемую модель Ландау–Гинзбурга. Алгебраические (соотв. симплектические) свойства такого семейства отражаются в симплектических (соотв. алгебраических) свойствах исходного многообразия Фано. Построение и изучение моделей Ландау–Гинзбурга в наибольшей общности является технически очень сложной задачей. В докладе будет дан обзор подхода к этой задаче, а также результатов, полученных с его помощью. Несколько ослабив требования к модели Ландау–Гинзбурга, можно определить, во многих случаях построить и изучить так называемые торические модели Ландау–Гинзбурга — многочлены Лорана, хранящие информацию как о модели Ландау–Гинзбурга многообразия Фано, так и о его торических вырождениях. Многие известные примеры, такие как конструкция Гивенталя для моделей Ландау–Гинзбурга полных пересечений в торических многообразиях и ее обобщения, интерпретируются в терминах таких многочленов. Мы построим и изучим торические модели Ландау–Гинзбурга для поверхностей дель Пеццо (и докажем для них гипотезу Кацаркова–Концевича–Пантева о зеркальной симметрии чисел Ходжа), трехмерных многообразий Фано (и докажем их модулярность), полных пересечений во взвешенных проективных пространствах и грассманианах, сформулируем и частично докажем гипотезу о зеркальности “крайнего” числа Ходжа. Мы также построим компактификации лог-Калаби–Яу для торических моделей Ландау–Гинзбурга и изучим геометрические конструкции, которые подсказаны торическими моделями Ландау–Гинзбурга, такие как базовые линки для трехмерных многообразий Фано и существование неф-разбиений.