Аннотация:
В 1855 году, исследуя задачу оптимального приближенного восстановления функции полиномом “малой” степени по ее значениям, заданным в конечном, но “большом” числе узлов на вещественной прямой $\mathbb R$, П. Л. Чебышёв дал точное решение этой задачи в терминах параметров некоторой непрерывной дроби. Эта непрерывная дробь строится непосредственно по лорановским коэффициентам разложения в ряд в бесконечно удаленной точке $z=\infty$ функции вида
$$
\hat\mu(z):=\int_S \frac{d\mu(x)}{z-x}
$$
где $\mu$ – положительная борелевская мера с компактным носителем
$\operatorname{supp}\mu=:S\Subset\mathbb R$.
Именно на этом пути П. Л. Чебышёв открыл общие ортогональные (относительно меры $\mu$) многочлены $Q_n$: они естественным образом возникли в его работе как знаменатели $n$-х подходящих дробей $P_n/Q_n$ к чебышёвской непрерывной дроби. Для функции $\hat\mu$ чебышёвская непрерывная дробь дает в точности последовательность ее диагональных аппроксимаций Паде:
$[n/n]_{\hat\mu}=P_n/Q_n$, $n=1,2,\dots$ .
В докладе будут приведены некоторые фундаментальные свойства чебышёвских непрерывных дробей для функций, более общего, чем $\hat\mu$ вида, а также даны некоторые численные иллюстрации и приложения.
Обратная связь: