|
|
Заседания Московского математического общества
15 ноября 2011 г. 18:30, г. Москва, ГЗ МГУ, аудитория 16-10
|
|
|
|
|
|
Супергеометрия и скобки
Ф. Ф. Воронов |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 267 |
Фотогалерея
|
Аннотация:
В докладе рассматривается связь геометрических структур на супермногообразиях таких, как гомологические векторные поля, со скобками Пуассона, алгебрами Ли и их обобщениями (гомотопические алгебры Ли и алгеброиды Ли). Все необходимые понятия будут введены по ходу изложения и
предварительное знакомство с ними не предполагается.
В первой части доклада мы покажем, как при описании дифференциально-геометрических объектов на обычном многообразии естественно возникают супермногообразия. Введение супермногообразий имеет
здесь такое же преимущество, как переход от компонентной записи уравнений Максвелла к инвариантному языку векторного и тензорного анализа. Эта аналогия не случайна: в современной математической физике супергеометрия является стандартным языком, удачно дополнившим классические тензорные обозначения. Потом мы определим «гомологические векторные поля» на супермногообразии. Это понятие обладает большой унифицирующей силой: гомологические векторные поля играют роль производящих функций разнообразных алгебраических и дифференциально-геометрических объектов. Примером служат обычные алгебры Ли, для которых на языке гомологических
векторных полей легко и просто возникают полезные обобщения, такие как «сильно-гомотопические алгебры Ли» и алгеброиды Ли. Алгеброиды Ли являются инфинитезимальным объектом для группоидов Ли. Они описывают симметрии более общей, чем групповая, природы. Фундаментальное значение группоидов Ли в дифференциальной геометрии подчеркивалось Эресманном в 1950-е годы, а
современное развитие связало алгеброиды Ли с супермногообразиями.
Более подробно об алгеброидах Ли и родственных им объектах будет рассказано во второй части доклада. Мы расскажем о «неабелевой формуле цепной гомотопии» и «неабелевом» аналоге леммы Пуанкаре, частными случаями которого являются обычная лемма Пуанкаре для замкнутых форм и утверждение, что «связность нулевой кривизны есть чистая калибровка». Из «неабелевой
леммы Пуанкаре», в частности, легко получаются классические результаты Маккензи по интегрированию транзитивных алгеброидов Ли. Мы обсудим это, а также любопытные «нелинейные» аналоги алгебр(оидов) Ли, возникающие из градуированной геометрии, т.е. теории супермногообразий, снабженных
дополнительной Z-градуировкой («весом»).
|
|