Аннотация:
Аналитическая функция полностью определяется своими значениями, которые она принимает в каждой сколь угодно малой области $D$. Однако задача определения аналитической функции за пределами этой области не корректна, и малые неточности в задании функции в $D$ могут привести к большим ошибкам определения функции за пределами $D$.
В докладе рассматривается следующая задача. Целая аналитическая функция $f$ наблюдается в шуме малой интенсивности на некотором множестве $D$. Как далеко от $D$ еще можно определить $f$ с малой ошибкой. Одна из простейших постановок этой задачи такова. Функция $f(t)$, о которой априори известно, что она есть целая функция порядка роста не выше $\rho$, наблюдается на интервале $[a,b]$ в аддитивном гауссовском белом шуме интенсивности $\varepsilon$, т.е. наблюдается, например,
$$
X(t)=\int_0^tf(u)\,du+\varepsilon w(t), \qquad w(a)=0,
$$ $w(t)$ — процесс броуновского движения. Оказывается, что определение $f$ с малой ошибкой возможно на расстояниях порядка
$$
(\ln(\varepsilon^{-1}))^{1/\rho}
$$
и невозможно на больших расстояниях. Аналогичные результаты верны для многих других вариантов подобных задач.
Обратная связь: