Оптимальные оценки размерности аттракторов нелинейного волнового уравнения

Получены явные оценки порядка $\gamma^{-d}$ для фрактальной размерности аттрактора нелинейного волнового уравнения (или системы) в ограниченной области $\Omega\subset \mathbb R^d$, $d\ge1$ с линейным диссипативным слагаемым с коэффициентом $\gamma>0$. Ключевую роль в случае $d\ge3$ играют оценки Либа для $L_p$-норм систем с ортонормированными градиентами, основанные на использовании неравенства Цвикеля–Либа–Розенблюма (CLR) для отрицательных собственных значений оператора Шрединдера. Случаи $d=1,2$ на удивление гораздо сложнее. Нижние оценки того же порядка для размерности аттрактора получены также для нелинейной гиперболической системы с нелинейностью, содержащей небольшой член неградиентного возмущения, что означает, что в этом случае наши оценки оптимальны (при $d\ge3$). Чисто градиентный случай принципиальным образом отличается. В частности, оказывается, что ляпуновская размерность нетривиального аттрактора имеет порядок $\gamma^{-1}$ во всех пространственных размерностях $d\ge1$.