Как часто период цепной дроби для корня из $D$ бывает большим?

Как известно, любая квадратичная иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь. Открытой проблемой является поведение длины периода разложения числа $\sqrt{D}$ при изменении величины $D$ во множестве бесквадратных чисел. Верхние оценки такого периода имеют вид $c\sqrt{D}\ln{D}$, где борьба ведётся, главным образом, за постоянную $c$, но является ли порядок $\sqrt{D}\ln{D}$ точным – неизвестно.
Между тем, имеется ряд результатов, которые показывают, что чисел $D$, для которых такая длина достаточно велика, не очень много. Одно из последних продвижений в этом направлении было получено в 2024 г. Ф. Баттистони, Л. Гренье, Дж. Мольтени. Результат трёх авторов был усилен за счёт того, что вместо верхней оценки одной арифметической суммы, найденной этими авторами, удалось получить асимптотику такой суммы.
В докладе мы коснёмся классических результатов, связанных со свойствами цепных дробей квадратичных иррациональностей, а также обсудим ключевые аргументы, позволившие получить указанную асимптотику. Главным из них является оценка кратной тригонометрической суммы специального вида.