Асимптотические совместные распределения статистик ряда критериев согласия

Доклад посвящен асимптотическим совместным распределениям статистик, являющихся обобщениями статистик, применяющихся в критериях согласия при проверке качества генераторов случайных и псевдослучайных чисел.
Рассмотрим широко известную в математической статистике задачу о проверке простой гипотезы $H_0$. Важным частным случаем такой гипотезы является простая гипотеза $H_0^R$, в соответствии с которой элементы выборки являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с заданным распределением с $R$ исходами. Задача о проверке $H_0^R$ естественным образом возникает при проверке качества генераторов (псевдо)случайных чисел (далее ГСЧ). Данные генераторы имеют большое практическое значение. Для проверки качества ГСЧ применяются различные наборы статистических критериев: пакеты NIST, TestU01 и др. Статистики этих пакетов послужили основой для выделения четырех классов статистик, рассматриваемых в докладе. Они обобщают многие из статистик, используемых в пакетах NIST, TestU01, в наборе тестов Д. Э. Кнута и т.д.
Исследованиями статистик критериев согласия, используемых при проверке качества ГСЧ, занимались А.М. Зубков, Ю.С. Харин, Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, P. L’Ecuyer, G. Marsaglia, В.Г. Михайлов, А.Л. Рухин, В.П. Чистяков, Б.И. Селиванов и многие другие специалисты. Каждый статистический пакет содержит несколько критериев согласия. Необходимость одновременного использования сразу нескольких критериев неоднократно отмечалась в литературе. В случае, когда верна $H_0$, асимптотические распределения статистик отдельных критериев, не считая единичных исключений, хорошо изучены. Однако при одновременном использовании нескольких критериев естественным образом возникает намного более сложный вопрос об асимптотическом совместном распределении статистик этих критериев при $H_0$, а также при различных альтернативах $H_1$. Важность данного вопроса отмечалась академиком АК РФ А.М. Зубковым.
В первой части доклада будут представлены теоремы о явном виде асимптотического совместного распределения рассматриваемых статистик.
Далее, в реальных ситуациях размер выборки всегда конечен, поэтому естественным образом возникает вопрос об объеме выборки, который необходим для того, чтобы при использовании аппроксимации распределений статистик их асимптотическими распределениями ошибка была достаточно малой. В докладе будет сформулирован аналог неравенства Берри-Эссеена, дополняющий теоремы о явном виде асимптотических совместных распределений.
Как известно, наличие выраженных зависимостей между статистиками пакета критериев нежелательно. В докладе будут представлены необходимые и достаточные условия асимптотической независимости рассматриваемых статистик.
Изложенные здесь результаты вошли в планируемую к защите диссертацию на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.