Ассоциативное уравнение Янга–Бакстера и его приложения в квантовых интегрируемых цепочках

Ассоциативное уравнение Янга–Бакстера тесно связано с квантовым уравнением Янга–Бакстера — одним из центральных соотношений теории интегрируемых систем, — и выделяет в нём более узкий класс решений: $R$-матрицы, удовлетворяющие дополнительному квадратичному условию. Впервые это условие появилось как абстрактное алгебраическое соотношение в работах Кириллова и Фомина в контексте исчисления Шуберта. Позднее, независимо от этого, ассоциативное уравнение Янга–Бакстера с квантовым параметром возникло в работах Полищука в геометрическом контексте.
Я расскажу, как ассоциативное уравнение Янга–Бакстера естественно возникает в квантовых интегрируемых системах. На этом языке удобно описывать и строить новые квантовые спиновые цепочки с дальнодействием. Отдельно расскажу о наших недавних результатах по обобщению ассоциативного уравнения Янга–Бакстера для системы корней $BC_n$: в этом случае это квадратичное соотношение относится не только к квантовой $R$-матрице, но и к соответствующим граничным $K$-матрицам, удовлетворяющим уравнению отражений.