Аннотация:
Посмотрим на однородный многочлен второй степени от нескольких координат — например,
$$P(x,y)=x^2+2xy-y^2.$$
Геометрически естественное действие — "покрутить" систему координат и попробовать такой заменой привести многочлен к наиболее простому виду. Например, чтобы понять его линии уровня — эллипсы или гиперболы в двумерном случае. Стандартная теорема линейной алгебры утверждает, что всегда можно “повернуть” систему координат так, чтобы получилось
$$P(y_1,...,.y_k) = c_1 y_1^2+ ... +c_k y_k^2;$$
это называется “приведением квадратичной формы к главным осям”, а числа $c_1,...,c_k$ называют собственными значениями.
Вопрос об их нахождении не только интересен геометрически — но и, например, возникает в квантовой механике (где собственными значениями оказываются “допустимые энергетические уровни”).
А что будет, если коэффициенты квадратичной формы выбираются случайно? Оказывается, с этого начинается большая, интересная, и “идущая в разные стороны” наука — которую я попробую рассказать, дойдя от её начальных глав до современных вещей (и попробую закончить нашим с Вадимом Гориным свежим результатом о поведении “матриц при нулевой температуре”, arXiv:2009.02006).
Предварительные сведения:
несмотря на “алгебраическое” начало, знания линейной алгебры нам не понадобится (кроме интуитивно-геометрических вещей, которые я при необходимости продекларирую). Большая часть курса будет связана с теорией вероятностей — впрочем, опять же, нам будет достаточно интуитивного её понимания, а часть необходимых понятий и теорем мы “переоткроем” по пути. Кроме того, нам потребуется работать с интегралами — но опять же, будет достаточно их интуитивного понимания как предела сумм и как (ориентированной) площади под графиком.
Программа-максимум: — гауссово распределение и центральная предельная теорема
— многомерное гауссовское распределение и распределение Максвелла
— вектор на случайной сфере
— теорема о концентрации меры (если успеем)
— спектр случайной матрицы и полукруговой закон Вигнера: электроны вокруг тяжёлых атомов
— $\mathbb R$/$\mathbb C$/$\mathbb H$-версии задачи; «размерность» $\beta=1,2,4$ как параметр
— кристаллизация спектра при нулевой температуре
— предел малых колебаний: гауссов процесс и его описание
Обратная связь: