p-адические числа. Семинар 1

Поле вещественных чисел можно построить, пополнив поле рациональных чисел, то есть добавив к нему пределы всех последовательностей, которые «должны бы» сходиться. Оказывается, эту процедуру можно провести не единственным способом. Более того, для каждого простого числа p есть способ выбрать свой класс сходящихся последовательностей, пределы которых будут образовывать так называемое поле $p$-адических чисел, являющееся пополнением поля рациональных чисел.

Цель курса — обсудить конструкцию этих полей и их основные свойства. В качестве приложений мы докажем теорему Г. Минковского о том, что группа всех обратимых целочисленных матриц размера $N\times N$ содержит только конечное количество конечных подгрупп с точностью до изоморфизма, и теорему П. Монского о том, что квадрат нельзя разрезать на нечётное число треугольников равной площади.

Пререквизиты. От слушателей не требуется предварительных знаний за пределами основных понятий алгебры и математического анализа.