Полиномы Дарбу, экстатические кривые и экспоненты Ковалевской

В 1878 году Дарбу предложил новый метод нахождения инвариантов систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений, который был затем дополнен Пуанкаре и Пенлеве в 1891. В работах М.Н. Лагутинского 1911–1912 годов было предложено два метода построения полиномов Дарбу, которые в настоящее время в зарубежной литературе называются алгоритмом Лагутинского–Перейры и экспонентами Лагутинского–Левельта. Первый из этих методов допускает обобщения, позволяющие находить не только рациональные первые интегралы, но и интегралы движения в классе $k$-функций Дарбу и функций Лиувилля. Второй из методов основан на использовании методов сингулярного анализа Ковалевской–Пенлеве для нахождения кофакторов полиномов Дарбу. В докладе обсуждаются результаты Лагутинского и современные методы построения первых интегралов основанные на его идеях, а в качестве примера рассматривается нахождение полиномов Дарбу для полных цепочек Тоды с использованием современных компьютерных технологий.