О нулях $L$-функций и их линейных комбинаций на критической прямой

Для $L$-функций из класса Сельберга (такие функции характеризуются, в том числе, наличием функционального уравнения Риманова типа и наличием Эйлерова произведения) предполагается справедливость гипотезы Римана, утверждающая, что все нетривиальные нули таких функций лежат на критической прямой. Сейчас известно, что для дзета-функции Римана, а также для $L$-функций с характером Дирихле и $L$-функций, связанных с автоморфными формами, на критической прямой лежит положительная доля нетривиальных нулей. Дзета-функция Эпштейна, соответствующая бинарной положительно определенной квадратичной форме с целыми коэффициентами, или функция Давенпорта–Хейльбронна представляют собой линейные комбинации $L$-функций из класса Сельберга. Несмотря на наличие у них функционального уравнения, гипотезе Римана они не удовлетворяют и имеют много нулей вне критической прямой. Тем не менее и для них справедлив результат о положительной доле. В докладе я расскажу о методах, разработанных Атле Сельбергом, позволяющих получать упомянутый выше результат, а также о связанных с этим подходом проблемах, ключевыми из которых являются аддитивная задача с коэффициентами $L$-функции и асимптотический закон распределения значений логарифма $L$-функции на критической прямой.