Явные формулы для экстремалей в сублоренцевых и финслеровых задачах на 2х и 3х-мерных группах Ли

В рамках исследований по сублоренцевой геометрии, являющейся обобщением математического аппарата общей теории относительности, был разработан новый математический аппарат ‒ выпуклая гиперболическая тригонометрия. В Лоренцевой геометрии длина времениподобной кривой интерпретируется как собственное время путешественника, а геодезические (длиннейшие кривые) соответствуют траекториям свободного движения. Классические методы отыскания геодезических оказываются неприменимы для широкого класса сублоренцевых пространств с произвольной вогнутой антинормой. Для решения этой проблемы авторами были введены новые специальные функции, обобщающие классические гиперболические функции на случай произвольной двумерной антинормы. Этот подход вкупе с принципом максимума Понтрягина, позволил впервые в явном виде найти формулы для геодезических в сублоренцевых задачах на всех трехмерных унимодулярных группах Ли ($\mathrm{SU}(2)$, $\mathrm{SL}(2)$, $\mathrm{SE}(2)$ и др.), а также на плоскости Лобачевского. Помимо этого, в работе с помощью известного аппарата выпуклой тригонометрии найдены явные формулы для геодезических в финслеровой задаче на группе Гейзенберга для норм, допускающих введение обобщенных сферических координат. Таким образом, работа дает полное описание экстремалей для широкого класса задач оптимального управления на группах Ли малой размерности.