Теория скрытых колебаний и ее приложения

Развитие теории глобальной устойчивости, теории бифуркаций, теории хаоса, теории робастного управления и новых вычислительных технологий позволило по-новому взглянуть на ряд известных теоретических и практических проблем анализа динамических систем и привело к появлению теории скрытых колебаний, ставшей современным этапом развития теории колебаний А.А. Андронова. Основой теории скрытых колебаний стала новая классификация колебаний и аттракторов как самовозбуждающихся или скрытых. По аналогии с понятиями глобальный и локальный аттракторы понятия скрытый аттрактор или скрытое колебание отражают свойство области притяжения объекта в фазовом пространстве: область притяжения не касается состояний равновесия системы.
Существующие методы теории бифуркаций эффективны при изучении возможных сценариев локального рождения колебаний и аттракторов. Однако при решении задач мультистабильности или глобальной устойчивости, где требуется найти все нетривиальные колебания и аттракторы или установить их отсутствие, часто ключевой проблемой становится невозможность гарантировать отсутствие в фазовом пространстве иных объектов, кроме найденных (как, например, в 16-й проблеме Гильберта о максимальном числе предельных циклов полиномиальных систем на плоскости). В то время как самовозбуждающиеся колебания можно эффективно обнаруживать численно, выявление скрытых колебаний требует применения специальных аналитико-численных методов.
Внешние оценки границы глобальной устойчивости в пространстве параметров и рождения самовозбуждающихся колебаний в фазовом пространстве могут быть получены линеаризацией вокруг положений равновесия и анализом локальных бифуркаций, а также связаны с различными известными гипотезами о глобальной устойчивости по первому приближению (как, например, гипотезы Айзермана и Калмана о глобальной устойчивости систем управления). Отдельную трудность представляет бифуркационный анализ рождения колебаний и выявление скрытых аттракторов как в моделях с разрывными характеристиками, где может быть континуум состояний равновесия (как, например, в задаче Андронова-Вышнеградского о глобальной устойчивости центробежного регулятора Уатта), так и в моделях с периодическими характеристиками и цилиндрическим фазовым пространством, где может не быть состояний равновесия (как, например, в ряде моделей с эффектом Зоммерфельда и управления фазовой синхронизацией). Внутренние оценки границы глобальной устойчивости могут быть получены с помощью классических достаточных критериев глобальной устойчивости.
В зазоре между внешними и внутренними оценками находится точная граница глобальной устойчивости, исследование которой требует анализа нелокальных бифуркаций и скрытых колебаний. Нелокальное рождение через глобальные бифуркации скрытых колебаний (например, рождение периодической траектории через нелокальную бифуркацию, сохраняющую устойчивость в большом единственного состояния равновесия системы) определяет скрытые участки границы глобальной устойчивости в пространстве параметров, тогда как явные участки границы определяются локальными бифуркациями (например, бифуркацией потери локальной устойчивости единственного состояния равновесия системы управления).
Теория скрытых колебаний оказалась востребована во многих теоретических и актуальных инженерных задачах, в которых скрытые аттракторы (их отсутствие или наличие и расположение) играют важную роль [1-8]. Для многих систем управления переход состояния системы к скрытому аттрактору, вызванный внешними возмущениями, приводит к нежелательному поведению и часто является причиной аварий и техногенных катастроф.
1. Н.В. Кузнецов, Теория скрытых колебаний и ее приложения, Президиум РАН, 09.09.2025 (https://vkvideo.ru/video-220669694_456239122)
2. N. Kuznetsov, Hidden attractors in science and technologies, Academy of Finland, 2021 (https://vkvideo.ru/video-220669694_456239051)
3. N.V. Kuznetsov, Theory of hidden oscillations and stability of control systems, Journal of Computer and Systems Sciences International, 59(5), 2020, 647-668 (https://doi.org/10.1134/S1064230720050093)
4. D. Dudkowski, S. Jafari, T. Kapitaniak, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, A. Prasad, Hidden attractors in dynamical systems, Physics Reports, 637, 2016, 1-50 (https://doi.org/10.1016/j.physrep.2016.05.002)
5. N.V. Kuznetsov, M.Y. Lobachev, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev, E.V. Kudryashova, O.A. Kuznetsova, E.N. Rosenwasser, S.M. Abramovich, The birth of the global stability theory and the theory of hidden oscillations, Proc. of European Control Conf. (ECC-2020), St. Petersburg, 2020, 769–774 (https://dx.doi.org/10.23919/ECC51009.2020.9143726)
6. N. Kuznetsov, T. Mokaev, V. Ponomarenko, E. Seleznev, N. Stankevich, L. Chua, Hidden attractors in Chua circuit: mathematical theory meets physical experiments, Nonlinear Dynamics, 111, 2023 5859–5887, https://doi.org/10.1007/s11071-022-08078-y
7. Н.В. Кузнецов, М.Ю. Лобачев, Т.Н. Мокаев, Скрытая граница глобальной устойчивости в контрпримере к гипотезе Капранова о полосе захвата, Доклады РАН, т. 512, 2023, 69-77
8. X. Wang, N.V. Kuznetsov, G. Chen, Chaotic Systems with Multistability and Hidden Attractors, Springer, 2021 (https://doi.org/10.1007/978-3-030-75821-9)