Линейные неавтономные системы: квадратичные интегралы и устойчивость

Показано, что всегда имеется квадратичный интеграл линейной неавтономной системы дифференциальных уравнений, который в начальный момент времени совпадает с наперед заданной квадратичной формой. Индексы инерции этой квадратичной формы-интеграла и ее ранг не меняются со временем. Установлено, что если квадратичный интеграл является положительно определенной квадратичной формой при всех значениях времени, то эта система устойчива тогда и только тогда, когда интеграл будет функцией Ляпунова.