О радикале Джекобсона в $PI$-алгебрах

Доказывается, что если алгебра имеет конечное число порождающих и в ней выполняются все тождества полной матричной алгебры некоторого порядка, то ее радикал Джекобсона нильпотентен. В цепочке идеалов $\mathfrak{M}_{0}\supset\mathfrak{M}_{1}\supset\mathfrak{M}_{2}\supset\ldots$, где $\mathfrak{M}_{k}$ — идеал тождеств полной матричной алгебры порядка $k$ над полем характеристики нуль, каждый фактор $\mathfrak{M}_{i}/\mathfrak{M}_{i+1}$ является алгебраической алгеброй ограниченной степени над своим центром. В случае поля характеристики нуль доказывается, что $PI$-алгебра с конечным числом порождающих имеет нильпотентный радикал Джекобсона тогда и только тогда, когда в ней выполняются тождества Капелли некоторого порядка.