Кольца с локально определенными кручениями

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с $1\ne0$. Тогда $\mathcal{G}(R)$ ($\mathcal{G}'(R)$) — множество всех радикальных (предрадикальных) фильтров кольца $R$, причем если $R$ — область целостности, то предполагается, что $\mathcal{G}(R)$ ($\mathcal{G}'(R)$) не содержит радикального (предрадикального) фильтра, состоящего из всех идеалов кольца $R$. Определим отображение
\begin{gather*} \Phi: \mathcal{G}(R)\to\prod_{m\in\mathrm{mspec}\,R} \mathcal{G}(R_m)\\ (\Phi': \mathcal{G}'(R)\to\prod_{m\in\mathrm{mspec}\,R} \mathcal{G}'(R_m)) \end{gather*}
следующим образом: $\Phi(\mathcal{F})\langle\mathcal{F}_m\rangle_{m\in\mathrm{mspec}\,R}$ ($\Phi'(\mathcal{F})\langle\mathcal{F}_m\rangle_{m\in\mathrm{mspec}\,R}$) для любого $\mathcal{F}\in\mathcal{G}(R)$ ($\mathcal{F}\in\mathcal{G}'(R)$). Найдены необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять кольцо $R$, для того чтобы отображение $\Phi(\Phi')$ в нем было биективно.