К точной теореме Бэра–Сузуки для $\pi$-радикала: унипотентные элементы групп лиева типа

Изучается следующая гипотеза, справедливость которой позволила бы сформулировать для $\pi$-радикала конечной группы неулучшаемый аналог теоремы Бэра–Сузуки (здесь $\pi$ — произвольное множество простых чисел). Для нечетного простого числа $r$ положим $m=r$, если $r=3$ и $m=r-1$, если $r\geqslant 5$. Пусть $L$ — неабелева простая группа, порядок которой обладает простым делителем $s$, таким что $s=r$, если $r$ делит $|L|$, и $s>r$ в противном случае. Предположим также, что $x$ — автоморфизм простого порядка группы $L$. Тогда некоторые $m$ сопряженных c $x$ элементов группы $\langle L,x\rangle$ порождают подгруппу порядка, кратного $s$. Гипотеза подтверждается для случая, когда $L$ — группа лиева типа и $x$ — автоморфизм, индуцированный унипотентным элементом.