Характеризация группы $A_5\times A_5\times A_5$ множеством размеров классов сопряжённых элементов

Для конечной группы $G$ обозначим через $N(G)$ множество размеров её классов сопряжённости. Недавно был сформулирован следующий вопрос: верно ли, что для любого $n\in\mathbb{N}$ и произвольной неабелевой конечной простой группы $S$, если $G$ — группа с тривиальным центром и $N(G)=N(S^n)$, то $G\simeq S^n$? Известен ответ на данный вопрос для всех простых групп $S$ при $n=1$, а также для $S\in\{A_5, A_6\}$, где через $A_k$ обозначается знакопеременная группа степени $k$, при $n=2$. Доказывается, что группа $A_5\times A_5\times A_5$ однозначно определяется множеством $N(A_5\times A_5\times A_5)$ в классе конечных групп с тривиальным центром.