Дуальность для биалгебраических решёток, принадлежащих многообразию $(0,1)$-решёток, порождённому пентагоном

Согласно Г. Биркгофу, существует категорная дуальность между категорией биалгебраических дистрибутивных $(0,1)$-решёток с полными решёточными $(0,1)$-гомоморфизмами в качестве морфизмов и категорией частично упорядоченных множеств с отображениями, сохраняющими частичный порядок, в качестве морфизмов. Этот классический результат расширяется на категорию биалгебраических решёток, принадлежащих многообразию $(0,1)$-решёток, порождённому пентагоном, пятиэлементной немодулярной решёткой. Применяя эту расширенную дуальность, доказывается, что решётка квазимногообразий, содержащихся в многообразии $(0,1)$-решёток, порождённом пентагоном, содержит несчётное число элементов и не является дистрибутивной. Это даёт следующее: решётка квазимногообразий, содержащихся в нетривиальном многообразии $(0,1)$-решёток либо является $2$-элементной цепью, либо содержит несчётное число элементов и недистрибутивна.