Орбиты максимальных векторных пространств

Пусть $V_\infty$ – стандартное вычислимое бесконечномерное векторное пространство над полем рациональных чисел. Существует много работ, посвящённых исследованию решётки $\mathcal L(V_\infty)$ вычислимо перечислимых векторных подпространств $V_\infty$ и её фактор-решётки $\mathcal L^*(V_\infty)$ по идеалу конечномерных подпространств. Тем не менее, многие важные вопросы в этой области до сих пор остаются открытыми. Р. Доуни и Дж. Реммел [question 5.8, p. 1031, in: Yu. L. Ershov (ed.) et al., Handbook of recursive mathematics. Vol. 2: Recursive algebra, analysis and combinatorics (Stud. Logic Found. Math., 139), Amsterdam, Elsevier, 1998] сформулировали проблему о нахождении значимых орбит в $\mathcal L^*(V_\infty)$. Данная проблема является важной и сложной, и ответ на неё может быть получен только с помощью значительного развития структурной теории решётки $\mathcal L^*(V_\infty)$, а также лучшего понимания свойств её автоморфизмов. Здесь формулируются необходимые и достаточные условия для того, чтобы квазимаксимальные (а следовательно, и максимальные) векторные пространства с продолжаемыми базисами лежали в одной орбите в $\mathcal L^*(V_\infty)$.
Более точно, рассматриваются два векторных пространства $V_1$ и $V_2$, порождённые двумя квазимаксимальными подмножествами (возможно, различных) вычислимых базисов пространства $V_\infty$. Даётся необходимое и достаточное условие для изоморфности главных фильтров, заданных элементами $V_1$ и $V_2$ в $\mathcal L^*(V_\infty)$. Также устанавливается необходимое и достаточное условие для существования автоморфизма $\Phi$ решётки $\mathcal L^*(V_\infty)$, такого что $\Phi$ отображает класс эквивалентности $V_1$ в класс эквивалентности $V_2$. Результаты формулируются с использованием $m$-степеней для множеств векторов, связанных с пространствами.
Наши исследования связаны с исследованиями, которые провёл Р. Соар [Ann. Math. (2), 100 (1974), 80–120] для орбит квазимаксимальных множеств в решётке $\mathcal E$ вычислимо перечислимых множеств, а также в её фактор-решётке $\mathcal E^*$ по идеалу конечных множеств. Однако, наши результаты и методы доказательств существенно отличаются от использованных Р. Соаром. В частности, структура главного фильтра, заданного квазимаксимальным векторным пространством в $\mathcal L^*(V_\infty)$, оказалась в общем случае гораздо более сложной, чем структура главного фильтра, заданного квазимаксимальным множеством в $\mathcal E^*$. Кроме того, в отличие от $\mathcal E^*$ изоморфность главных фильтров в $\mathcal L^*(V_\infty)$ является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы классы эквивалентности двух квазимаксимальных векторных пространств лежали в одной орбите в $\mathcal L^*(V_\infty)$.