Постоянные отношения для точек перегиба кубической кривой с узловой или изолированной точкой

В статье получены проективные инварианты кубических кривых с узловой или изолированной точкой. Доказано, что на проективной плоскости каждые две точки перегиба кубической кривой с узловой (изолированной) точкой находятся в эквиангармоническом отношении с расположенными на содержащей их прямой точками касательных данной кривой в ее узловой (изолированной) точке. А каждые три точки перегиба такой кривой находятся в квазиангармоническом отношении с расположенной на содержащей их прямой точкой касательной данной кривой в ее узловой (изолированной) точке.
Установлено, что на проективной плоскости любые две крунодальные (акнодальные) кубики проективно эквивалентны.
Доказано, что четыре прямые, содержащие узловую (изолированную) точку кубики, а именно: прямая точек перегиба, касательная и псевдокасательная к кривой в точке перегиба, касательная к кривой в точке, сопряженной с точкой перегиба, находятся в постоянном сложном отношении, равном $-3$. На основании этого факта обоснован ряд свойств кубических кривых с узловой (изолированной) точкой на евклидовой плоскости $E_2$. Приведем некоторые из доказанных свойств, обозначая кубическую кривую символом $\sigma$, а ее узловую или изолированную точку — символом $I$.

• Если касательные к $\sigma$ в изолированной точке $I$ проходят через циклические точки плоскости $E_2$, то величина угла между любыми двумя прямыми, каждая из которых соединяет точку $I$ с точкой перегиба данной кривой, равна $\pi / 3$.
• Псевдокасательная в точке $I$ разделяет полосу между проходящими через $I$ параллельными касательными к $\sigma$ в отношении три к одному, считая от касательной к $\sigma$ в сопряженной с $I$ точке, тогда и только тогда, когда прямая точек перегиба линии $\sigma$ совпадает с абсолютной прямой плоскости $E_2$.
• Касательная линии $\sigma$ в сопряженной с $I$ точке разделяет полосу между взаимно параллельными псевдокасательной в точке $I$ и прямой точек перегиба линии $\sigma$ в отношении три к одному, считая от псевдокасательной, тогда и только тогда, когда касательная линии $\sigma$ в точке $I$ совпадает с абсолютной прямой плоскости $E_2$.
• Прямая точек перегиба линии $\sigma$ разделяет полосу между проходящими через $I$ параллельными касательными к $\sigma$ в отношении три к одному, считая от касательной линии $\sigma$ в точке $I$, тогда и только тогда, когда псевдокасательная линии $\sigma$ в точке $I$ совпадает с абсолютной прямой плоскости $E_2$.
• Касательная линии $\sigma$ в точке $I$ разделяет полосу между прямой точек перегиба и параллельной ей псевдокасательной в точке $I$ в отношении три к одному, считая от прямой точек перегиба, тогда и только тогда, когда касательная линии $\sigma$ в сопряженной с $I$ точке совпадает с абсолютной прямой плоскости $E_2$.