Об одновременном представлении чисел суммой пяти простых чисел

Пусть $ X-$ достаточно большое действительное число, $ b_{1},b_{2},b_{3} $- целые числа с условием $ 1\le {{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}}\le X, a_{ij}, (i=1,2,3; j=\overline{1.5})$ целые положительные числа, $p_{1},...,p_{5}-$ простые числа. Положим $ B=max\{3|a_{ij}|\} , (i=1,2,3; j=\overline{1.5}), \vec{b} = (b_{1},b_{2},b_{3}), K=36\sqrt{3}B^{5}|\vec{b}|, E_{3,5}(X)=card\{b_{i} |1\le {{b}_{i}}\le X, b_{i}\neq a_{i1}p_{1}+\cdots+a_{i5}p_{5}, i=1,2,3\}$. В работе доказано, что система $b_{i}=a_{i1}p_{1}+\cdots+a_{i5}p_{5}, (i=1,2,3)$ разрешимо в простых числах $p_{1},\cdots,p_{5}$, для всех троек $\vec{b}=(b_{1}, b_{2},b_{3}), 1\le {{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}}\le X$, за исключением не более чем $E_{3,5}(X)<X^{3-\varepsilon}$ троек из них, а также получена оценка снизу для $R(\vec{b})-$количество решений этой системы, то есть доказано справедливости неравенство $R(\vec{b})>> K^{2-\varepsilon}(\log K)^{-5}$, для всех $\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ за исключением не более чем $X^{3-\varepsilon}$ троек из них.