Характеризация дедекиндова и счётно-дедекиндова расширения решёточного линейного пространства непрерывных ограниченных функций посредством порядковых границ

В 1872 году Р. Дедекиндом была построено множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ как некоторое расширение множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ способом взятия счётных порядковых регулярных сечений. Этот способ был обобщён и применён Г. Макнейлом к некоторым упорядоченным математическим системам. В данной статье способ Дедекинда – Макнейла применяется к математической системе $C$, порождённой семейством $C_b(T,\mathcal{G})$ всех непрерывных ограниченных функций $f\colon T\to\mathbb{R}$ на тихоновском топологическом пространстве $(T,\mathcal{G})$.
Рассматривается дедекиндово расширение $C>\!\longrightarrow D(C)$, а также счётно-дедекиндово расширение $C>\!\longrightarrow D^0(C)$, как более близкий аналог классического расширения $\mathbb{Q}>\!\longrightarrow\mathbb{R}$.
Даются функционально-факторные описания указанных расширений через семейства равномерных функций относительно ансамблей подмножеств множества $T$, обладающих свойством Стоуна и конуль-свойством Стоуна. Даются характеризации указанных расширений как некоторых пополнений решёточного линейного пространства $C$, наделённого некоторой локальной структурой идеального измельчения.
Функциональное описание и характеризация счётно-дедекиндова расширения $C >\!\longrightarrow D^0(C)$ оказываются удивительным образом совпадающим с функциональным описанием и характеризацией риманова расширения $C>\!\longrightarrow R_{\mu}$, порождённого фактор-семейством всех функций на тихоновском пространстве $(T,\mathcal{G})$, $\mu$-интегрируемых по Риману относительно положительной ограниченной радоновской меры $\mu$.