Арифметические свойства значений расходящихся в поле $\mathbb{C}$ рядов

Статья посвящена описанию направлений исследования арифметических свойств значений рядов вида
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot n!z^{n}$$
с коэффициентами $a_{n},$ удовлетворяющими определённым условиям. При этих условиях рассматриваемый ряд,отличный от многочлена, сходится в поле $ \mathbb{C} $ только при $z=0$. Однако для почти всех, кроме конечного числа, простых чисел $p$ такой ряд сходится в полях $ \mathbb{Q}_p $.Поэтому есть два естественных пути исследования. Мы можем рассматривать либо значения результата некоторого суммирования этого ряда, либо его значения в поле $ \mathbb{Q}_p$. Примером первого подхода служит рассмотренный ещё Эйлером ряд
$$1-x+2x^{2}+\dots+(-1)^{n}\cdot n!x^{n}+\dots,$$
в результате суммирования которого при подстановке $x=1$ получается замечательное равенство
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}n!= e(\gamma -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot n!}),$$
где $ \gamma -$ постоянная Эйлера.
Другое направление исследований использует введённое Э.Бомбиери понятие глобального соотношения. Используя модифицированный метод Зигеля–Шидловского удаётся получить аналоги основных теорем А.Б.Шидловского для $E-$ функций. Применение аппроксимаций Эрмита-Паде позволило рассмотреть значения обобщённых гипергеометрических рядов не только с алгебраическими, но и с некоторыми трансцендентными в любом поле $ \mathbb{Q}_p$ параметрами.