О справедливости закона $0$ или $1$ для неглубоких свойств первого порядка сильно разреженного случайного графа

В биномиальном случайном графе $G(n,p)$ ребра проводятся независимо и с вероятностью $p$ каждое. Случайный граф подчиняется $k$-закону $0$ или $1$, если вероятность истинности любой формулы первого порядка, кванторная глубина которой не превосходит $k$, стремится либо к $0$ либо к $1$ при $n\to\infty$. Данная статья посвящена ответу на следующий вопрос: для каких пар $k$ и $\ell$ случайный граф $G(n,n^{-l-1/\ell})$ подчиняется $k$-закону $0$ или $1$? Мы получили полный ответ при $k=3$ и всех натуральных $\ell$, а также доказали, что при $k=4$ и $\ell\in[1,40]\cup\{72\}$ закон нарушается.