Нестационарное рассеяние звука упругим цилиндром с непрерывно-неоднородным покрытием

Рассматривается падение плоской нестационарной звуковой волны на находящийся в идеальной жидкости однородный упругий цилиндр с покрытием в виде упругого цилиндрического слоя с непрерывно изменяющимися по толщине плотностью и модулями упругости. Полагается, что фронт падающей волны параллелен оси вращения цилиндра. Отыскивается поле давления в рассеянной телом звуковой волне.
Построена математическая модель рассматриваемого дифракционного процесса, основанная на линеаризованной модели гидродинамики идеальной сжимаемой жидкости и модели линейной теории упругости. Акустическое давление в жидкости, равное сумме давлений в падающем и рассеянном полях, является решением волнового уравнения. Распространение упругих волн в однородном цилиндре описывается двумя волновыми уравнениями относительно скалярного и векторного потенциалов упругих смещений. При этом в силу постановки задачи векторное уравнение приводится к скалярному уравнению. Волновой процесс в неоднородном упругом покрытии описывается общими уравнениями движения сплошной среды и законом Гука. Помимо указанных выше уравнений модель включает: нулевые начальные условия, условия свободного проскальзывания на внешней поверхности покрытия, условия жесткого сцепления на внутренней поверхности покрытия, условие затухания на бесконечности для рассеянного акустического поля и условие ограниченности для волновых полей в теле.
К уравнениям построенной модели применяется интегральное преобразование Лапласа по времени и метод разделения переменных по радиальной и угловой координатам. В пространстве изображений искомые давление и потенциалы представляются в виде разложений в ряды по модифицированным цилиндрическим функциям Бесселя с учетом условий излучения и ограниченности. Изображения компонент вектора смещения, нормального и касательного напряжений в покрытии ищутся в виде рядов Фурье с неизвестными, зависящими от радиальной координаты коэффициентами. Для их определения построена краевая задача для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Краевая задача сведена к задачам с начальными условиями. Переход в пространство оригиналов осуществлен численно. Представлены результаты расчетов давления в рассеянном телом акустическом поле.