Численный метод решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра с помощью искусственных нейросетей

Многие задачи математики, механики, физики и других инженерных дисциплин приводят к уравнениям, в которых неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Интегральные уравнения являются полезными математическими инструментами во многих областях, поэтому они исследуются во многих различных аспектах, таких, как существование решений, аппроксимация решений, расчет поправки или неисправимости, корректировка решений и т. д. Во многих статьях упоминаются так называемые PINN (physics-informed neural networks, что можно перевести как физически обусловленные нейронные сети), которые нашли применение для решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, а также систем дифференциальных уравнений. PINN также применяются для решения интегральных уравнений, однако, в публикациях обычно приводятся методы для решения некоторого класса уравнений, к примеру, уравнения Фредгольма 2-го рода либо уравнения Вольтерра 2-го рода. В этой статье будет описан общий метод решения непрерывных интегральных уравнений с помощью нейросетей, который обобщает их как для интегральных уравнений Фредгольма, так и для интегральных уравнений Вольтерра. Суть метода заключается в том, что искомая функция аппроксимируется нейронной сетью, которая по сути является огромной функцией с большим числом настраиваемых параметров, которые выбираются из условия минимальности квадрата невязки, для чего параметры нейронной сети настраиваются с помощью алгоритма оптимизации L-BFGS. Результаты метода ANN сравниваются с точным решением для нескольких типовых интегральных уравнений.