О рациональных аппроксимациях одного сингулярного интеграла на отрезке суммами Абеля – Пуассона

Изучаются рациональные аппроксимации на отрезке $[-1,~1]$ сингулярных интегралов вида
$$ \hat{f}(x) = \int\limits_{-1}^{+1} \frac{f(t)}{t-x}\sqrt{1-t^2} dt, \ x \in [-1,~1]. $$
Аппаратом приближений являются суммы Абеля – Пуассона рациональных интегральных операторов Фурье – Чебышёва, ассоциированные с системой рациональных функций Чебышёва – Маркова, с произвольным фиксированным количеством геометрически-различных полюсов. Установлено интегральное представление приближений. В случае, когда плотность сингулярного интеграла имеет степенную особенность, найдены оценки поточечных приближений, равномерных приближений с определенной мажорантой, ее асимптотическое выражение и оптимальные значения параметров, при которых мажоранта имеет наибольшую скорость убывания.
Следствием полученных результатов являются оценки приближений сингулярных интегралов с плотностью, имеющей степенную особенность, суммами Абеля – Пуассона полиномиального ряда Фурье – Чебышёва.
Получены оценки приближений сингулярных интегралов с плотностью, удовлетворяющей на отрезке $[-1,~1]$ условию Липшица, суммами Абеля – Пуассона полиномиального ряда Фурье – Чебышёва. Особенностью найденных оценок является их зависимость от положения точки на отрезке. Причем на концах отрезка скорость является выше, чем в целом на отрезке.
Установлено, что классы изучаемых сингулярных интегралов с плотностью, имеющей степенную особенность, в некоторых случаях отражают особенности рациональной аппроксимации в том смысле, что при специальном выборе параметров скорости равномерных рациональных приближений оказываются выше соответствующих полиномиальных аналогов.