Об асимптотиках представлений пары целых чисел суммой квадратов и линейной формой с конгруэнциальным условием специального вида

В работе получены асимптотические формулы с остаточным членом для числа представлений пары целых чисел $m$ и $n$ соответственно суммой квадратов и линейной формой от $s \geqslant 5$ переменных, причём каждое решение такой диофантовой системы удовлетворяет конгруэнциальному условию специального вида, связанному определенным образом с линейной формой. Асимптотика с остаточным членом для числа решений такой диофантовой системы выводится при $N \to \infty$, где $N = \Delta m - n^{2}$, при этом $\Delta$ равняется сумме квадратов коэффициентов линейной формы.
Кроме того, получены двусторонние оценки снизу и сверху для особого ряда исследуемой диофантовой системы, опираясь при верхней оценке на формулы для числа решений сравнения второй степени $x_{1}^{2} + \ldots + x_{s}^{2} \equiv a \pmod{p^{k}}$, где $p$ — простое число, $a$ — целое число, $k$ — натуральное число.
Настоящая работа является продолжением ранее проведенного исследования, относящегося к случаю чётного числа переменных.