Теорема о среднем значении тригонометрических сумм на последовательности многочленов биномиального типа

Доказана теорема о среднем для тригонометрических сумм на последовательности многочленов биномиального типа. Как известно, классическая теорема И. М. Виноградова о среднем [10] относится к последовательности многочленов вида $\{x^n, n\geq 0\}.$ Важным приложением найденной теоремы о среднем являются оценки сумм вида
$$ \sum_{m\leq P}e^{2\pi if(m)}, f(m)=\sum_{k=0}^n\alpha_kp_k(m), $$
где $p_k(x)$ — последовательность целозначных многочленов биномиального типа, а набор чисел $(\alpha_1\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ представляет собой точку $n$-мерного единичного куба $\Omega: 0\leq \alpha_1,\dots,$ $\alpha_n<1.$