Линейные и нелинейные методы рельефной аппроксимации

Наша цель — сравнение эффективностей свободной (нелинейной) рельефной, равнораспределенной рельефной и полиномиальной аппроксимаций $\mathscr R^{\mathrm{fr}}_N[f]$, $\mathscr R^{\mathrm{eq}}_N[f]$, $\mathscr E_N[f]$ индивидуальной функции $f({\mathbf x})$ в метрике $\mathscr L^2(\mathbb B^2)$, где $\mathbb B^2$ — единичный круг $|{\mathbf x}|\le1$ на плоскости $\mathbb R^2$. По определению
$$ \mathscr R^{\mathrm{fr}}_N[f]:=\inf_{R\in\mathscr W^{\mathrm{fr}}_N}\|f-R\|, \quad \mathscr R^{\mathrm{eq}}_N[f]:=\min_{R\in\mathscr W^{\mathrm{eq}}_N}\|f-R\|, \quad \mathscr E_N[f]:=\min_{P\in{\mathscr P}^2_{N-1}}\|f-P\|. $$
Здесь $\mathscr W^{\mathrm{fr}}_N$ — множество всех $N$-членных линейных комбинаций функций типа «плоская волна»
$$ R({\mathbf x})=\sum_1^N\,W_j({\mathbf x}\cdot\boldsymbol\theta_j) $$
с произвольными профилями $W_j(x)$, $x\in\mathbb R^1$, и направлениями распространения $\{\boldsymbol\theta_j\}_1^N$; $\mathscr W^{\mathrm{eq}}_N$ — подмножество $\mathscr W^{\mathrm{fr}}_N$, соответствующее $N$ равнораспределенным направлениям, а ${\mathscr P}^2_{N-1}:=\operatorname{Span}\{x_1^kx_2^l\}_{k+l<N}$ — подпространство алгебраических многочленов двух действительных переменных степени не выше $N-1$. Выполнены неравенства $\mathscr R^{\mathrm{fr}}_N[f] \le\mathscr R^{\mathrm{eq}}_N[f]\le\mathscr E_N[f]$.
Модельная задача: для каких функций выполнено соотношение $\mathscr R^{\mathrm{fr}}_N[f] =o(\mathscr R^{\mathrm{eq}}_N[f])$, $N\to\infty$, т. е. когда нелинейная аппроксимация $\mathscr R^{\mathrm{fr}}$ более эффективна, чем линейная $\mathscr R^{\mathrm{eq}}$? Доказано, что этот эффект имеет место для гармонических функций: для любого $\varepsilon>0$ найдется такая константа $c_\varepsilon>0$, что если $\Delta f({\mathbf x})=0$, $|{\mathbf x}|<1$, $f\in\mathscr L^2(\mathbb B^2)$, то $\mathscr R^{\mathrm{fr}}_N[f]\le c_\varepsilon\left(\mathscr R^{\mathrm{eq}}_N[f]\exp(-N^\varepsilon)+\mathscr R^{\mathrm{eq}}_{N^{2-3\varepsilon}}[f]\right)$.
С другой стороны, $\mathscr R^{\mathrm{fr}}_N[f]\ge\frac1c\mathscr R^{\mathrm{eq}}_{N^2}[f]$. Итак, для $f=f_{\mathrm{harm}}$ аппроксимация $\mathscr R^{\mathrm{fr}}_N[f]$ «почти в квадрат раз лучше», чем $\mathscr R^{\mathrm{eq}}_N[f]$. Однако эти ультравысокие порядки приближения достигаются за счет коллапса волновых векторов.
Напротив, нелинейность $\mathscr R^{\mathrm{fr}}$ (связанная со свободой выбора волновых векторов) не приносит существенного выигрыша в порядках приближения, например, для всех радиальных функций. Если $f({\mathbf x})=f(|{\mathbf x}|)$, то $\mathscr E_{2N}[f]\ge\mathscr R^{\mathrm{eq}}_N[f]\ge\sqrt{2/3}\,\mathscr E_{2N}(f)$ и $\mathscr R^{\mathrm{fr}}_N[f]\ge\sup_{\varepsilon>0}\sqrt{\varepsilon/(3(1+\varepsilon))}\,\mathscr R^{\mathrm{eq}}_{(1+\varepsilon)N}[f]$.
Наш основной аппарат — анализ Фурье—Чебышёва, связанный с обратным преобразованием Радона в $\mathbb B^2$, и возникающая двойственность проблем рельефной аппроксимации и оптимизации квадратурных формул в смысле Колмогорова—Никольского на классах тригонометрических полиномов.
Библиография: 23 названия.