Классическое решение начально-граничной задачи для волнового уравнения со смешанной производной

Исследуется начально-граничная задача для неоднородного гиперболического уравнения второго порядка в полуполосе плоскости с постоянными коэффициентами, содержащего смешанную производную, с нулевым и ненулевым потенциалами. Данное уравнение является уравнением поперечных колебаний движущейся конечной струны. Рассматривается случай закрепленных концов (условия Дирихле). Предполагается, что корни характеристического уравнения простые и лежат на вещественной оси по разные стороны от начала координат. Формулируются доказанные ранее автором теоремы о конечных формулах для обобщённого решения в случае однородной и неоднородной задач. Затем на основе этих формул доказываются теоремы о конечных формулах для классического решения или, по-другому, решения почти всюду. Во второй части статьи формулируются доказанные ранее автором теоремы об обобщённом решении начально-граничной задачи с обычным потенциалом и потенциалом общего вида. В основе этих результатов лежит идея трактовать уравнение с потенциалом, как неоднородность в уравнении без потенциала. Эта идея ранее использовалась А. П. Хромовым и В. В. Корневым в случае уравнения без смешанной производной. И, далее, на основе формул для обобщённого решения задачи с потенциалами доказываются теоремы о соответствующих формулах для классических решений для этих двух видов потенциалов.