Унимодальность распределения вероятностей экстенсивного функционала выборок случайной последовательности

Устанавливается критерий унимодальности распределения вероятностей функционала, который представляется суммой набора независимых одинаково распределенных случайных неотрицательных величин ${\tilde x}_k$ со случайным числом слагаемых, распределенных по Пуассону. Общее распределение слагаемых ${\tilde x}_k$ сосредоточено на отрезке $[0, 1]$ и таково, что $\mathrm{Pr}\,\{{\tilde x}_k = 0\} \ne 0.$ Его абсолютно непрерывная часть асимптотически близка к равномерному распределению. Вводится понятие о сглаживающих функциях и находится явный вид распределения любого фиксированного числа слагаемых, равномерно распределенных на $[0, 1].$