Обратная задача теории Галуа – это красивый и весьма сложный раздел современной алгебры, суть которого состоит в выяснении условий для заданной конечной группы $G$, при которых для фиксированного поля $k$ существует расширение Галуа полей $K/k$ с группой Галуа $G$. Для случая числового поля $k$ (конечного расширения поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$) такая задача весьма далека от своего решения. В то же время, например, для случая числового одномерного локального ноля $k$ (конечного расширения поля $p$-адических чисел $\mathbb{Q}_p$) решение имеется.

Цель данного курса – познакомить слушателей с одним из подходов к решению обратной задачи теории Галуа: задачей погружения, а также доказать, что для конечных групп нечетного норядка обратная задача теории Галуа имеет положительное решение над числовыми полями (в частности, над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$). Данный результат представляет собой частный случай теоремы И. Р. Шафаревича о реализуемости любой конечной разрешимой группы в качестве группы Галуа над произвольным числовым полем $k$, но будет получен гораздо более простыми средствами.

Предполагается знакомство слушателей с основами алгебраической теории чисел, когомологиями групп, группой Брауэра, теорией Галуа в рамках соответствия Галуа. Необходимые для курса результаты будут но необходимости напоминаться, но без доказательств. Курс будет состоять предположительно из 12-14 лекций.

Финансовая поддержка. Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2019-1614).

Программа

Лектор
Киселев Денис Дмитриевич

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)