Курс будет посвящён сюжетам вокруг теоремы периодичности Ботта, которая играет ключевую роль в $K$-теории. Основное внимание планируется уделить конструкциям классов Тома векторных расслоений в $K$- и $KO$-теориях и общей теореме Римана-Роха в форме Гротендика, позволяющей извлекать из этих конструкций теоремы целочисленности для родов Хирцебруха.

С одной стороны, курс будет довольно продвинутым: я буду предполагать знакомство слушателей с теорией обычных когомологий, включая базовые знания о характеристических классах и когомологических операциях (хотя и постараюсь аккуратно формулировать все необходимые мне теоремы).

С другой стороны, курс будет весьма базовым и классическим: планируется рассказать о фундаментальных результатах 1950-х — 1960-х годов, играющих основополагающую роль в современной алгебраической топологии. Тематика, связанная с теоремой Римана-Роха, является пограничной между алгебраической геометрией и алгебраической топологией; в курсе мы будем смотреть на эту теорему с топологической стороны.

Примерная программа

1.  Комплексная теорема периодичности Ботта: разные формулировки.
2. Спектры, экстраординарные теории (ко)гомологий. $K$-теория как теория когомологий.
3. Набросок исходного доказательства Ботта теоремы периодичности через теорию Морса.
4. Доказательство теоремы периодичности Ботта по Атье (через приближения функций сцепления для векторных расслоений на двумерной сфере тригонометрическими многочленами).
5. Ориентация векторного расслоения по отношению к теории когомологий. Класс Тома и изоморфизм Тома. $K$-ориентируемость комплексных векторных расслоений.
6. Классы Черна. Принцип расщепления. Характер Черна.
7. Теорема Римана-Роха-Хирцебруха-Гротендика. Роды Хирцебруха. Род Тодда и его целочисленность.
8. Алгебраические основания вещественной теоремы периодичности Ботта: алгебры Клиффорда, спинорные группы, их представления.
9. Вещественная теорема периодичности Ботта; $KO$-теория.
10. $K$-ориентация $\mathrm{Spin}^{\mathbb{C}}$-расслоений и $KO$-ориентация спинорных расслоений.
11. Теоремы целочисленности; теорема Рохлина о сигнатуре спинорного четырёхмерного многообразия.
12. Теорема Стонга-Хаттори.

Программа

Лектор
Гайфуллин Александр Александрович

Финансовая поддержка
Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2022-265).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)