Существование и обрыв флипов представляет собой одну из самых сложных и интересных задач в теории минимальных моделей, то есть в теории классификации алгебраических многообразий. Положительное решение здесь известно до размерности 4 включительно, в высших размерностях имеются лишь частичные результаты.

Цель курса состоит в том, чтобы осветить известные результаты в этом направлении. От слушателей ожидается знакомство с алгебраической геометрией, например, в рамках глав 2 и 3 книжки Хартсхорна. Приветствуется (но не является обязательным) знание бирациональной геометрии и программы минимальных моделей.

Программа

1.  Предварительные сведения: бирациональные морфизмы, форма пересечений на поверхностях, формула присоединения, раздутие и стягивание (−1)-кривых, критерий Кастельнуово. Программа минимальных моделей для поверхностей, минимальные поверхности.
2.  Особенности многообразий и пар: дискрепатнтности, терминальные и канонические особенности, lc, klt, plt и dlt особенности. Примеры.
3.  Программа минимальных моделей и ее вариации: логарифмическая, аналитическая, относительная, с действием группы.
4.  Non-klt локус, принцип связности Коллара-Шокурова, обращение присоединения.
5.  Обобщенные пары, b-дивизоры. Дополнения: определение и свойства. Проблема существования дополнений.
6.  Необходимое возникновение флиповых стягиваний. Флоп Атьи-Куликова и флип Франсиа. Проблема существования и обрыва флипов.
7.  Понятие сложности (difficulty), обрыв трехмерных флипов.
8.  Существование флипов в размерности 3. Флипы для lc-пар в размерности 3.
9.  Pl-флипы, специальный обрыв. Сведение к случаю pl-флипов.

Литература
[1] Ю.Г.Прохоров, Особенности алгебраических многообразий.
[2] J. Kollár, K. Smith, A. Corti, Rational and nearly rational varieties.
[3] K. Matsuki, Introduction to the Mori theory.
[4] J. Kollár, S. Mori, Birational geometry of algebraic varieties.
[5] A. Corti et al, Flips for 3-folds and 4-folds.
[6] J. Kollár et al, Flips and abundance.
[7] V.V.Shokurov, 3-fold log flips.
[8] V.V.Shokurov, Prelimiting flips.

Программа

Лектор
Логинов Константин Валерьевич

Финансовая поддержка
Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2025-303).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)